টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ৭ 

ইন্টিগ্রেশানের সূত্র 

কয়েকদিন ধরে না লিখলে অলসতা চলে আসে। রাইটার্স ব্লক সিন্ড্রোম তৈরি হয়। ভেবেছিলাম এই সিরিজটা এক টানে লিখে শেষ করে দিবো, সেটা আর হলো না। যাই হোক, অতীতের গান গেয়ে লাভ নেই, সপ্তম পর্ব শুরু করি। 

রিক্যাপঃ 

∫ হচ্ছে ইন্টিগ্রেশানের চিহ্ন। 

vdt মানে v আর dt এর গুণফল। dt মানে দুইটা t এর বিয়োগফল। যেমন t1 – t0, t2 – t1 এরকম। 

∫vdt মানে অনেকগুলো vdt এর যোগফল। আগের পর্বগুলোতে দেখিয়েছি, এই জিনিসের আরেকটা মানে হচ্ছে এটা হচ্ছে v রেখাটার নিচের জায়গাটুকুর ক্ষেত্রফল। 

যদি বক্কর ভাই সম ত্বরণে চলে, তাহলে v = u + at 

ধরি আদিবেগ u = 0 

a = 2 একক 

তাহলে, v = হবে 2t 

এই v = 2t রেখাটার নিচের জায়গাটুকুর ক্ষেত্রফলই হচ্ছে ∫vdt এর মান। 

মনে পড়ছে? ঐযে ৬ নম্বর পর্বে ত্রিভুজ, আয়ত এগুলোর সাহায্যে ক্ষেত্রফল বের করেছিলাম? 

মনে না পড়লে আগের পর্বগুলো পড়ে আসতে হবে। লিঙ্ক:

https://nayeem.science/category/maths/calculus/

শুরু করার আগে আরেকটা জিনিস। 

দূরত্ব = বেগ × সময় 

তাহলে, vdt আসলে কি? 

vdt হচ্ছে, অতি ক্ষুদ্র সময়ের ব্যবধান dt হলে বক্কর ভাই যেই দূরত্ব যায়, সেটা। 

ওই দূরত্ব dx হলে, dx = vdt 

বারবার বেগ চেঞ্জ হতে পারে। নতুন নতুন বেগের জন্য নতুন নতুন dx = vdt পাবো। 

তাহলে সবগুলো vdt অর্থাৎ dx যোগ করে কি পাই? 

আমরা পাই, বক্কর ভাই মোট যে দূরত্ব অতিক্রম করেছে। 

অর্থাৎ, মোট দূরত্ব x হলে, 

x = ∫dx = ∫vdt

তাহলে, v = t রেখার নিচের ওই ক্ষেত্রফল আসলে কিছুই না, বক্কর ভাইয়ের মোট দূরত্ব। 

১। 

আগের পর্বে আমরা দেখেছি কিভাবে জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ত্রিভুজ চতুর্ভুজ এগুলো দেখে ক্ষেত্রফল বের করা যায়। কিন্তু সবকিছুকে আমরা এভাবে ভাঙতে পারবো না। রেখাটা বক্ররেখা হলে এইসব সূত্র খাটবে না। তখন আমরা রেখার নিচের জায়গাটাকে অনেকগুলো ছোট ছোট ভাগে ভাগ করে যোগ করবো। 

সম ত্বরণের সময় আমাদের রেখা v = 2t 

আবার, v = dx/dt 

আমরা দুই নাম্বার পর্বে দেখেছিলাম, 

x = c হলে dx/dt = 0 হয় 

x = t হলে dx/dt = 1 হয় 

x = t^2 হলে dx/dt = 2t হয় 

আমাদের উদাহরণে, v = dx/dt 

তাহলে, x = t^2 

dx = vdt 

dx আসলে দুইটা x এর বিয়োগফল। 

t = t0 এর জন্য যদি x = x0 হয় 

t = t1 এর জন্য যদি x = x1 হয় 

তাহলে, 

t = 0 বিন্দুতে 

dt = t1 – t0

dx = x1 – x0 

তাহলে আমরা পাই, 

t = 0 বিন্দুতে, 

dx0 = x1 – x0

একইভাবে, t = 1 বিন্দুতে 

dx1 = x2 – x1

t = 2 হলে 

dx2 = x3 – x2 

… 

… 

t = 9 হলে 

dx9 = x10 – x9

আমরা সবগুলো dx যোগ দিচ্ছিলাম x বের করার জন্য। 

x

= dx0 + dx1 + dx2 + …. + dx9

= x1 – x0 + x2 – x1 + x3 – x2 + …. + x10 – x9

= x10 – x0

x = t^2

তার মানে, 

x10 = (t10)^2

x0 = (t0)^2

তাহলে, 

মোট দূরত্ব x = x10 – x0 = (t10)^2 –  (t0)^2

t = 0 থেকে t = 10 পর্যন্ত সময়ে মোট দূরত্ব হচ্ছে 

x = 10^2 – 0^2 = 100 

২। 

যারা অঙ্ক বুঝে তাদের কেমন জানি খচখচ লাগছে না? 

মনে হচ্ছে না, পুরা জিনিসটা আসলে পাতানো খেলা? 

এতক্ষণ ধরে কি করলাম আমরা? 

শুরুতেই খুঁজে বের করেছি কোন জিনিসকে ডিফারেনশিয়েট করলে 2t আসে। 

দেখলাম x = t^2 হলে, v = dx/dt এর মান 2t আসে। 

তারপর কি করলাম? 

সিম্পলই দেখালাম x হচ্ছে dx গুলোর যোগফল। 

t = 0 থেকে 10 পর্যন্ত ধরলে সেটা সিম্পলই দুই প্রান্তের দুইটা x এর বিয়োগফল। 

তাহলে কি হলো? 

পুরাটাই আসলে চালবাজি না? 

৩। 

হম, পুরাটাই চালবাজি। 

ইন্টিগ্রেশানের সত্যিকারের কোন সূত্র নেই। আমরা জাস্ট কোন জিনিসটা ডিফারেনশিয়েট করলে আমাদের রাশি আসবে সেটা খুঁজে বের করি, তারপর সেটা দুই লিমিট থেকে বিয়োগ করি। 

dx/dt = 2t কিভাবে আসে? x = t^2 হলে। 

তাহলে, 0 থেকে 10 লিমিটের মধ্যে, ∫2tdt = (t10)^2 – (t0)^2

dx/dt = t কিভাবে আসে? x = 1/2 t^2 হলে। 

তাহলে, 0 থেকে 10 লিমিটের মধ্যে, ∫tdt = 1/2(t10)^2 – 1/2(t0)^2

আবার, 

যদি আমরা x = t^3 নেই 

dx/dt = 3t^2

কিভাবে পাই? 

টিনি মিনিদের ক্যালকুলাসের নিয়ম ব্যবহার করে। 

তাহলে, 0 থেকে 10 লিমিটের মধ্যে, ∫3t^2dt = (t10)^3 – (t0)^3

এক কথায়, 

আমরা কোন জিনিসকে ডিফারেনশিয়েশান করলে আমাদের রাশি পাওয়া যায় সেটা খুঁজে বের করবো। সেটাকে লিমিটের মধ্যে বিয়োগ দিলেই পেয়ে যাবো আমাদের ইন্টিগ্রেশান!! 

ক্লিয়ার? 

৪। 

আপাতত সিরিজ শেষ। অন্তত ইন্টিগ্রেশান শেষ। 

ক্লাসে যখন নানান জাতের অপারেটর দেখিয়ে মাথা খারাপ করবে, অঙ্ককে যখন ম্যাজিক মনে হবে তখন কেউ যদি একবার শখের বশে সিরিজটা খুলে দেখে, ভেতরের নাটবল্টুগুলো হয়তো একটু হলেও পরিষ্কার হয়ে যাবে। 

সামনে হয়তো লিখতেও পারি ক্যালকুলাসের অহ্ন কোন টপিক নিয়ে। তার আগ পর্যন্ত, গুড বাই ফরম বক্কর ভাই!