টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস – ৪
ডাবল ডিফারেন্সিয়েশান

এটা চ্যাং ব্যাঙের সিরিজ না।
ঝকমকা ছবিওয়ালা আর্টিকেলের ভিড়ে এটা একপাশে পরে থাকবে, কেউ হয়তো পড়েও দেখবে না।
তারপরও কিছু জিনিস লেখার জন্য দায়িত্ব বোধ করি, এটা সেরকম একটা জিনিস।
যদি দশটা ছেলে দেখে আর বুঝে, আর কিছু শিখতে পারে, সেটুকুই আমার পাওয়া 🙂

যাই হোক, শুরু করছি ডিফারেন্সিয়েশানের শেষ পর্বঃ ডাবল ডিফারেন্সিয়েশান।

১।
dx মানে কি মনে আছে? x1 – x
dx2? dx এর বর্গ। dx * dx.
d(x2) ? সেটা হলো দুইটা x2 এর বিয়োগফল। (x1)^2 – (x)^2
তাহলে
d2x কি জিনিস?

উত্তর হচ্ছে, d2x হচ্ছে d(dx). দুইটা d জন্য d এর উপর বর্গ। এটা হচ্ছে, দুইটা dx এর বিয়োগফল।
d2x = dx1 – dx

বক্কর ভাইয়ের গাড়ি চলছে তরণে।
কোন সময়ে দূরত্ব x = t^2
t = 5 সেকেন্ডে দূরত্ব x = 5^2 = 25
t1 = 5.1 সেকেন্ডে দূরত্ব x1 = 5.1^2 = 26.01
t2 = 5.2 সেকেন্ডে দূরত্ব x2 = 5.2^2 = 27.04

তাহলে, dx = x1 – x = 26.01 – 25 = 1.01
dx1 = x2 – x1 = 27.04 – 26.01 = 1.03

তাই যদি হয়, তাহলে, d2x = dx1 – dx = 1.03 – 1.01 = .02
ক্লিয়ার?

২।
তরণ হচ্ছে বেগের পরিবর্তন / পরিবর্তনে যেটুকু সময় লাগে।
তাহলে,
a = dv/dt
বক্কর ভাইয়ের বেগ v = dx/dt = d(t^2)/dt = 2t
তাহলে তরণ
a = dv/dt = d(2t)/dt = 2 dt/dt = 2
এই দুইটা সূত্রেরই প্রমাণ, কিভাবে আসলো, সব দুই নাম্বার পর্বে দিয়েছি।
তাহলে, তরণ = 2 একক। ক্লিয়ার?

৩।
এইবার একটু জটিল কথায় আসি।
সরণ কে সময়ের সাপেক্ষে দুইবার ডিফারেনশিয়েট করলে তরণ পাওয়া যায়।
a = dv/dt = d2x/dt2

ভয় পাওয়ার কিচ্ছু নাই, d2x উপরেই বলেছি, এটা জাস্ট দুইটা dx এর বিয়োগফল। আর dt2 হলো dt এর বর্গ। ভাগ দিলেই হবে।

আমাদের উদাহরণেও, d2x = .02
dt = .1 কারন আমরা .1 সেকেন্ড পরপর বেগ নিচ্ছি।
dt2 = .1 * .1
ভাগ দিয়ে পাই, a = .02 / (.1 × .1) = 2
উত্তর মিলল?

৪।
এইবার দেখি সূত্র কোথা থেকে আসে।

a = dv/dt
= (v1 – v) / dt
= v1/ dt – v/dt
= 1/dt (v1 – v)
= 1/dt (dx1/dt1 – dx/dt)
= 1/dt (dx1/dt – dx/dt) [dt = dt1, উভয়ই 0.1 সেকেন্ড]
= 1/dt {(dx1 – dx) / dt}
= 1/dt * d2x/dt [d2x = dx1 – dx]
= d2x / (dt × dt)
= d2x / dt2

ক্লিয়ার সব?
ডিফারেসিয়েশান শেষ।
পরের পর্বে ইন্টিগ্রেশান।
একটা মিনি কুইজ তার আগেঃ xdx মানে কি?
কে বলতে পারবে?