টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস – ৫ 

ইন্টিগ্রেশান 

যারা এতদিন সিরিজের সাথে ছিলা, তাদের জন্য ইন্টিগ্রেশান পানির মতো সহজ হওয়া উচিত। 

ইন্টিগ্রেশান মানে গুন করে যোগ। 

১। 

বক্কর ভাই বাগান করছেন। গাঁজার বাগান। মনের প্রশান্তির জন্য বাগান করতে হয়। 

বাগানের চারপাশে তিনি বেড়া দিয়েছেন। গরু ছাগলের হাত থেকে নাজুক গাঁজা গাছগুলোকে রক্ষা করার জন্য বেড়া দরকার। 

এবড়ো থেবড়ো বেড়া। কোনটা উঁচু, কোনটা নিচু। 

বেড়া দেওয়া শেষ। এবার রঙ করতে হবে। যত বেশি ক্ষেত্রফল, রঙের দাম ততো বেশি। 

বেড়াগুলো চিকন চিকন। 

dx মিটার চওড়া। 

y মিটার উঁচু। 

তাহলে বেড়ার ক্ষেত্রফল হবে ydx. 

বক্কর ভাইয়ের বেড়াগুলো সব dx = 1 মিটার চওড়া। 

এক নম্বর বেড়াটা আছে  x = 1 থেকে x = 2 পর্যন্ত। dx = 2 – 1 = 1. সেটার উচ্চতা = 4 একক। 

তাহলে এক নাম্বার বেড়ার ক্ষেত্রফল কত? 

ydx = 4 × 1 = 4 বর্গ একক। ক্লিয়ার? 

দুই নাম্বার বেড়া আছে x = 2 থেকে x = 3 পর্যন্ত। আবারও, dx = 1. সেটার উচ্চতা 6 একক। 

ydx = 6 × 1 = 6 বর্গ একক। 

তিন নামার বেড়া আছে x = 3 থেকে x = 4 পর্যন্ত। উচ্চতা 5 একক। 

ক্ষেত্রফল ydx তাহলে 5 বর্গ একক। 

একই ভাবে, চার নাম্বার বেড়া আছে x = 4 থেকে x = 5 পর্যন্ত। উচ্চতা ৩ একক। ক্ষেত্রফল হবে ydx = 3  বর্গ একক। 

তাহলে, চারটা বেড়ার মোট ক্ষেত্রফল কতো? 

4 + 6 + 5 + 3 = 18 বর্গ একক। 

আমরা বলি, ydx কে x = 1 থেকে x = 4 পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশান করলে রেজাল্ট আসে ১৮। 

প্রথম বেড়ার শুরু x = 1 

শেষ বেড়ার শেষ x = 5

তাহলে বেড়া আছে 1 থেকে 5 পর্যন্ত। 

তাহলে, ∫1 ^5 ydx দিয়ে বুঝায় x = 1 থেকে 5 পর্যন্ত ydx কে যোগ করা। 

∫ হচ্ছে ইন্টিগ্রেশানের চিহ্ন। এটার পাশে ডানে নিচে 1 লেখে, উপরে 4 লেখে। সুন্দর করে লিখতে পারছি না, তাই এভাবে লিখলাম। 

২। 

বাগান করা শেষ। এবার গাড়ির কথায় আসি। 

বক্কর ভাইয়ের গাড়ির বেগ v হলে, v = dx/dt 

তাহলে, dx = vdt রাইট? 

বক্কর ভাইয়ের ড্রাইভার দুই সেকেন্ড পরপর গাড়ির বেগ পালটায়। dt = 2. 

t = 3 তে বেগ ছিল 3 একক। ওই বেগে সে 2 সেকেন্ড গেছে। এই দুই সেকেন্ডে সে কতদূর যায়? 

vdt = 3×2 = 6 মিটার। ঠিক? 

এরপর 5 থেকে 7 সেকেন্ড পর্যন্ত বেগ হলো 7 একক। কতদূর গেল? 

vdt = 7×2 = 14 মিটার। ওকে? 

এরপর 7 থেকে 9 সেকেন্ড পর্যন্ত বেগ যদি হয় 4 একক, দূরত্ব হবে 

vdt = 4×2 = 8 মিটার। 

মোট দূরত্ব কতো? 

6 + 14 + 8  = 28 মিটার। 

t = 3 সেকেন্ড থেকে t = 9 সেকেন্ড পর্যন্ত বক্কর ভাই মোট গিয়েছে 28 মিটার

আমরা বলি,  ∫3 ^9 vdt = 28 

t = 3 থেকে t = 9  পর্যন্ত vdt গুলোকে যোগ করলে হয় 28. 

৩। 

বাস্তব জগতে রাস্তাঘাট এবড়ো থেবড়ো থাকে। 

বক্কর ভাইয়ের ড্রাইভার মদ খায়। 

ব্রেক কষে। 

এক্সিলারেটর চাপে। 

প্রতি মুহুর্তে বেগ পালটায়। 

dt = 2 নিলে খুব বেশি হয়ে যায়। 

একটু পরপর বেগ পালটালে dt হতে হবে শূন্যের কাছাকাছি। 

তখন এবড়ো থেবড়ো অনেকগুলো আয়ত না হয়ে সুন্দর একটা কার্ভ হবে।
ওই কার্ভের নিচের জায়গাটার মোট ক্ষেত্রফলই হবে তখন ইন্টিগ্রেশান।

এক কথায়,

সময়ের ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে, vdt গুলোকে যোগ করা মানে হচ্ছে ইন্টিগ্রেশান করা। 

ক্লিয়ার??