১। 

তাপমাত্রা একটা রাশি। এর মান আছে দিক নাই। অন্তত আমরা দিকের কথা ভাবি না। এলিয়েন জগতে ওরা হয়তো তাপমাত্রার সাথে দিক বসায় দিয়ে ভাব নিতে পারে, এই দিক তাপমাত্রা কোন দিক থেকে কোন দিকে গেলে বাড়ে বুঝায়, আমরা অতো ঝামেলা নেই না। আমাদের কাছে, তাপমাত্রার দিক নেই, বাই ডেফিনিশান। 

আবার অনেক জিনিস আছে যাদের দুইটাই দিক। সামনে অথবা পেছনে। বেশি অথবা কম। এইসব জিনিস বুঝাতে আমাদের প্লাস মাইনাস চিহ্ন ব্যবহার করলেই চলে। যেমন সময়। ভবিষ্যতের সময়কে বুঝাতে আমরা হয়তো প্লাস ব্যবহার করলাম, অতীত বুঝাতে মাইনাস। উত্তর দিকের সাথে ৩০ ডিগ্রি কোনে ১ ঘণ্টা পর বলতে কি বুঝায় আমার জানা নেই, কিছু কিছু হাইপোথিসিস সময়ের একাধিক মাত্রা আছে দাবী করে, এগুলো ঠিক মাথায় ঢুকানো কঠিন। মাত্র দুইটা দিক হলে যেহেতু প্লাস মাইনাসেই চলে, আমরা দিক নেই বলে চালিয়ে দেই। 

এইযে জিনিসগুলো যাদের মান আছে কিন্তু দিক নেই, এদের বলে র‍্যাঙ্ক জিরো টেনসর। 

রাইট। টিনি মিনিরা যারা সিরিজটা পড়ছ, এই ডেফিনিশানটা বলে চমৎকার একটা ভাব নিতে পারবা। 

এই একই জিনিসের আরেকটা সহজ নাম আছে। স্কেলার। 

স্কেলার, অদিক রাশি, র‍্যাঙ্ক জিরো টেনসর। একই কথা। 

দূরত্ব, শক্তি, সময়, আপেল, টাকা, বেলুন, লাল বাবু এগুলো হচ্ছে স্কেলার। অন্তত যতক্ষণ পর্যন্ত দিক না টানছি 😉 

শুধু একটা সংখ্যা দিয়েই এদের প্রকাশ করা যায়। শুধু মান। ১০ টাকা, ১০০ ঘণ্টা, ১০টা আপেল। ঘাড়ের উপর ৫টা বাড়ি। 

২। 

মান আর দিক দুইই থাকলে তার নাম ভেক্টর। 

আরেক নাম র‍্যাঙ্ক 1 টেনসর। 

ভেক্টর একটা তীর টাইপের জিনিস। এর মান আর দিক দুইই আছে। 

লাল বাবুর কথা মনে আছে? ঐযে আকাশের দিকে মুখ করে হাঁটেন আর মনে মনে অঙ্ক করেন? 

লাল বাবু হাঁটছেন। উত্তর দিকের সাথে ত্রিশ ডিগ্রি কোন করে ১০ কিলোমিটার নাক বরাবর হাঁটছেন। আপাতত তিনি ঢাকার বাইরে এসেছেন, ম্যানহোলে পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা কম। 

এইযে লাল বাবু হাঁটছেন, এটার দুইটা কম্পোনেন্ট বা উপাংশ আছে। কি কি? 

এক হচ্ছে ১০ কিলোমিটার। কতদূর গেছেন। 

আরেক হচ্ছে, উত্তর দিকের সাথে ৩০ ডিগ্রি কোন। 

এই দুইটা জিনিস জানা থাকলেই আমরা বলতে পারবো লাল বাবু কোন দিকে কতদূর গেলেন। 

উপাংশ আরও অনেক ভাবে বলা যায়। যেমন, আমতলী থেকে রওনা দিয়ে উত্তর দিকের সাথে ৩০ ডিগ্রি কোন করে ১০ কিলোমিটার গেলে তিনি পাবলাখালি বাজারে পৌঁছান, আবার উত্তর দিক বরাবর 8.67 কিলোমিটার নাক বরাবর হেঁটে এরপর পূর্বদিকে ৫ কিলোমিটার গেলেও পাবলাখালি বাজারে পৌঁছান। 

শুধু লাল বাবু কেন, আপনিও যদি আমতলী থেকে রওনা দিয়ে উত্তর দিক বরাবর 8.67 কিলো হাঁটেন, তারপর ৫ কিলো পুব দিক বরাবর হাঁটেন, আপনিও পাবলাখালি বাজারেই পৌছবেন। 

দুইটা তীর যোগ করে পাই আরেকটা বড় তীর। 

দুইটা ভেক্টর যোগ করে আরেকটা ভেক্টর। 

এই দুইটা ভেক্টরকেও আগের মতোই উপাংশ বলে। 

আমরা নতুন উপাংশ বের করলাম, 

উত্তর দিকে 8.67 কিলোমিটার। 

পূর্ব দিকে ৫ কিলোমিটার। 

উত্তর আর পূর্বের মধ্যে এমন কি আছে যে এই দিক বরাবর নিতে হবে? সবুজ বাবুর কথাই ধরেন। উনি উত্তর ঘৃণা করেন। কোনদিন উত্তরে যান না। কারো কথারই উত্তর দেন না। 

উনি দক্ষিণ পশ্চিমে বিশ্বাসী। 

তাঁর মতে, উপাংশ হবে, 

দক্ষিণ দিকে -8.67 কিলোমিটার। 

পশ্চিম দিকে -৫ কিলোমিটার। 

কেন দুইটাই হতে হবে? ঘারতেরা বাবু পাঁচের নিচে কথা বলেন না। তাঁর মতে, প্রথমে উত্তর দিকে এতো কিলো যাও, তারপর উত্তরের সাথে এতো ডিগ্রি কোন করে এই দিকে যাও, তারপর উল্টাদিকে কিছুদূর হাঁটো, এই রকম ৫বার রাস্তা চেঞ্জ করলে পাবলাখালি বাজারে যাবো। 

তাঁর মতে, উপাংশ আসলে পাঁচটা। 

তো যাই হোক, উপাংশ দুইটা বলি, পাঁচটা বলি, আমাদের ভেক্টর কিন্তু একই আছে। 

আদি বিন্দু আমতলী। 

শেষ বিন্দু পাবলাখালি বাজার। 

মাঝখানে লম্বা একটা তীর। এই তীরটাই আমাদের ভেক্টর।

৩। 

পাঁচটা উপাংশ একটু বেশী হয়ে যায়। কিন্তু দুইটার কমে কি আপনি মাটির উপর চলছে এমন কারো মান আর দিক প্রকাশ করতে পারবেন? 

একটু চিন্তা করলে বুঝবেন, পারবেন না। 

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, দুইটা উপাংশ হলো মান আর একটা বিশেষ দিকের সাথে কোন। r হচ্ছে মান বা দূরত্ব, theta হচ্ছে কোন। 

কার্টেসিয়ান ব্যবস্থায়, X অক্ষ বরাবর কতদূর গেছেন, তারপর Y অক্ষ বরাবর কতদূর গেছেন। 

আমাদের ভেক্টর V হলে, 

এভাবে লিখতে পারি, 

V 

= [10, 30degree] 

= [8.67, 5] 

= [-8.67, -5] 

সবই একই জিনিস। একই ভেক্টর। 

2D জন্য দুইটা সংখ্যা লাগছে। 3D হলে লাগতো তিনটা। 4D হলে চারটা। 

তার মানে, ভেক্টর হচ্ছে আসলে এক সাড়ি সংখ্যা। সংখ্যাগুলো আমাদের সুবিধামত অক্ষ বরাবর ভেক্টরের উপাংশ। 

স্কেলার ছিল একটা সংখ্যা। র‍্যাঙ্ক 0 টেনসর। 

ভেক্টর এক সাড়ি সংখ্যা। একে বলে র‍্যাঙ্ক 1 টেনসর। 

যে জিনিস লিখতে কয়েকটা সাড়ি লাগবে, তার নাম আমরা দিবো র‍্যাঙ্ক 2 টেনসর। 

সেটা কি জিনিস হতে পারে, আমরা সামনে দেখব।