কোয়ান্টাম ৪৮
স্রোডিঙ্গারের সমীকরণঃ y থেকে Ψ

আজকের পর্বটা রিগোরাস, গণিত আছে। যারা আসলেই শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ বুঝতে চান তারা বাদে অন্য সবাই পর্বটা ইগ্নোর করুন।

এই পর্বের বেশিরভাগ কথাই আগে বলে ফেলেছি, তাও একটু রিক্যাপ দিতে হবে। শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের আমরা আসতে আসতে কাছাকাছি আসছি, জিনিসগুলো জটিল হবে।

আমরা গত পর্বে দেখেছিলাম
y = A sin (ωt – kx)
এই একই জিনিসকে উল্টিয়ে লেখা যায়
y = A sin (kx – ωt)
এই তরঙ্গও একই ভাবে উঠবে নামবে, কিন্তু দিক উলটা পালটা হবে। আজকে খেয়াল করলাম নেটে এই উলটা ফর্মটা পছন্দ করে, আমারও সমীকরণ কপি করতে সুবিধা হবে।

যাই হোক, আসল কথায় আসি।
এটা এমন এক তরঙ্গের সমীকরণ যেটা খালি উঠে নামে।

যদি একটা তরঙ্গ স্প্রিং এর মতো গোল হয়ে ঘুরত তাহলে ওই তরঙ্গের দুইটা উপাংশ থাকতো।
ধরি একটা Y অক্ষের দিকে, আরেকটা Z অক্ষের দিকে।
এই দুই উপাংশের মধ্যে ৯০ ডিগ্রি কোনের পার্থক্য থাকতো।
একটার কোন φ হলে আরেকটা হতো φ + ৯০।

Y অক্ষ বরাবর যদি হয় A sin (kx – ωt)
তাহলে Z অক্ষ বরাবর হবে A cos (kx – ωt)

এই ধরণের তরঙ্গ আছে। কোয়ান্টাম জগতের তরঙ্গ আসলে এই ধরণের।

এই ধরণের তরঙ্গকে অনেক ভাবে প্রকাশ করা যেত।
ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করলেও চলতো।

আরেকটা খুব সহজ উপায় আছে ৯০ ডিগ্রি কোণে দুইটা উপাংশকে প্রকাশ করার, সেটা হচ্ছে জটিল সংখ্যা ইউজ করা।
স্রোডিঙ্গার সেই পদ্ধতিতেই গেলেন।
একটা তরঙ্গকে প্রকাশ করলেন A cos (kx – ωt) দিয়ে। তার সাথে ৯০ ডিগ্রি কোণে যেটা, সেটাকে প্রকাশ করলেন iA sin (kx – ωt) দিয়ে।

দুইটা যোগ করে হলো জটিল তরঙ্গ
Ψ = A cos (kx – ωt)+ iA sin (kx – ωt)
অয়লারের সূত্রের সাহায্যে এক কথায় একে প্রকাশ করলে হয়,
Ψ = A (cos (kx – ωt)+ i sin (kx – ωt))
= A e ^ i (kx – ωt)

এইবার খেয়াল করেন, এই একই জিনিস এই পর্যন্ত অনেকগুলো পর্বে বলেছি, আবারও বলছি।

১। তরঙ্গের এই সমীকরণ আরও অনেক জটিল হতে পারে। আমাদের Ψ হতে পারে অনেকগুলো Ψ এর যোগফল। Ψ = Ψ1 + Ψ2 + … . ঠিক যেমন কোয়ান্টাম ৪৫এ দেখে এসেছি। অনেকগুলো sin আর cos এর যোগফল।
২। একাধিক Ψ হলে প্রতিটার আলাদা আলাদা ω থাকবে, k থাকবে, A থাকবে। সেগুলো সম্পর্কেও আমরা কিছুই জানি না।

আমরা জানি কণার ভর আর শক্তি। এই দুইটা জিনিস থেকে আমরা খুঁজে আনার চেষ্টা করবো Ψ কি হতে পারে।

সেদিকে যেতে হলে আরও কয়েকটা খটমটে জিনিস আমাদের বুঝে আসতে হবে। বেশিরভাগই অলরেডি বুঝিয়েছি, খালি আবার একটু মনে করতে হবে।

১। পর্যায়কাল T হলে কৌণিক বেগ ω হচ্ছে 2π/T. একইভাবে আমরা পাই, তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ হলে তরঙ্গ সংখ্যা k =
2π/λ।

২। ডি ব্রগ্লির সমীকরণ মনে আছে তো? ভুললে চলবে না।
ভরবেগ p = mv = h/λ.
এটা একেবারে মাথার মধ্যে গেঁথে ফেলতে হবে। λ যত ছোট হবে ভরবেগ ততো বড় হবে।
যে তরঙ্গ যত ছোট জায়গায় উঠে নামে তার ভরবেগ ততো বেশি হয়।
ভরবেগ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ব্যাস্তানুপাতিক।

৩। ১ আর ২ থেকে পাই, k = 2π * p / h. মাঝে মাঝেই h কে 2π দিয়ে ভাগ করা লাগে, সেজন্য নতুন ধ্রুবক আমদানি হয়েছেঃ ℏ=h/2π. এটাকে বলে h কাট।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি,
k = p / ℏ
ভয় পাওয়ার কিচ্ছু নাই, এখনো সব কিছু সিম্পল আছে।
এটার মানে, তরঙ্গ সংখ্যা যত বেশি, ভরবেগ ততো বেশি।
দশ ইঞ্চি জায়গায় যদি ঢেউ ১০ বার উঠে নামে, ভরবেগ হয়তো হবে ১০ kg ms-1 ।
একই জায়গায় বিশবার উঠলে নামলে হবে ২০ kg ms-1 ।
তরঙ্গ যত ঘন হয়ে থাকবে ভরবেগ ততো বেশি।

৪। Ψ সময়ের সাথে আর দূরত্বের সাথে পরিবর্তিত হয়। এখন আমাকে ডিফারেন্সিয়েশান আনতেই হবে, কিচ্ছু করার নাই। টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস পড়ে আসলে জিনিসগুলো অনেক সহজ হয়ে যাবে।

যারা ডিফারেন্সিয়েশান বুঝেন তাদের জন্যঃ
Ψ খুবই চমৎকার একটা সমীকরণ। এটা e^mx টাইপের জিনিস।
y = e^mx কে x এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশান করলে কি হয়?
dy/dx = me^mx = my
আবার ডিফারেন্সিয়েশান করলে কি হয়?
d^2y/dx^2 = m^2 e^mx = m^2 y
আবার করলে?
d^3y/dx^3 = m^3 e^mx = m^3 y

তাহলে কি হচ্ছে?
একটা হাইড্রার ১টা মাথা ছিল, কাটলে হলো দুইটা, আরও কাটলে হবে তিনটা।

Ψ এরও একই অবস্থা।
নিজে করে দেখেনঃ
d^2Ψ/dx^2 = -p^2/ℏ^2 Ψ হয়।

আবারও, চিহ্ন গুলো ভয়ঙ্কর, দেখে ভয় লাগতেই পারে, তাই সহজ করে বলি
Ψ এর ডাবল ডিফারেন্সিয়েশান Ψ এর সমানুপাতিক।
Ψ যত বড় হবে, দূরত্বের সাথে এর ‘ত্বরণ’ ততো বেশি হবে।

এই জিনিস আমরা প্রমাণ করেছি
A e ^ i (kx – ωt) ধরে।
কিন্তু এটা সত্যি হবে যেকোনো Ψ = Ψ1 + Ψ2 + … এর জন্য।
যদি প্রতিটা Ψ এর আলাদা আলাদা A থাকে, ω থাকে, k থাকে তাহলেও এই জিনিস খাটবে।

d^2Ψ/dx^2 = -p^2/ℏ^2 Ψ

আমরা শ্রোডিঙ্গারের তরঙ্গ সমীকরণের খুব কাছাকাছি চলে এসেছি। ভয় পেলে চলবে না, এগুলো জাস্ট সমানুপাতিক জিনিস।
Ψ যত বড় হবে, দূরত্বের সাথে এর ‘ত্বরণ’ ততো বেশি হবে।

আজকে এইটুকুই। আগামী পর্বে আমরা স্রোডিঙ্গারের সমীকরণে পৌঁছে যাবো।
আমাদের উদ্দেশ্যঃ Ψ আসলে কি, সেটা বের করা।
আমরা Ψ = A e ^ i (kx – ωt) ধরে একটা সমীকরণ বের করবো, তারপর ঐটা সমাধান করে সত্যিকারের Ψ বের করবো।
তারপরই আমাদের সামনে খুলে যাবে স্রোডিঙ্গারের আজব দুনিয়া।

(চলবে)