১.

১১ নাম্বার পর্বের শেষে প্রশ্ন রেখে গিয়েছিলাম, dTau অর্থ যদি সত্যিকারের সময় হয়, dS অর্থ কি? 

আগে একটু মনে করে দেই, dTau কি ছিলো।

বক্কর ভাই আমার সাপেক্ষে v বেগে চলেছেন। এতে তিনি আমার dt সময়ে আমার সাপেক্ষে √(dx^2 + dy^2 + dz^2) দূরত্ব পার করেছেন। এতে করে তার নিজের ঘড়িতে সময় পার হয়েছে dt’. dTau সবার জন্যই সমান। আমি মাপবো,

dTau^2 = dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2

(সব সময় মনে রাখতে হবে, আমরা কিন্তু আলোর বেগ c কে এক একক ধরে নিয়েছি, দূরত্ব আর সময় কনভার্শনে প্রয়োজনমতো c দিয়ে গুণ ভাগ হয়। ১১ তেই বলে এসেছি।)

বক্কর ভাই নিজের সাপেক্ষে নিজে স্থির আছেন। তাই তার জন্য dx’, dy’, dz’ সবই ০। তার আছে শুধু dt’ আছে। তার ক্ষেত্রে তাই একই dTau আসবে এরকম,

dTau^2 = dt’^2, 

বা dTau = dt’.

এটা হচ্ছে বক্কর ভাইয়ের নিজের সময়। যাকে অবজার্ভ করছি তার সময় হচ্ছে dTau. অন্য সবাই dTau মাপলে যা পাবে সেটা হচ্ছে বক্কর ভাইয়ের নিজের ঘড়িতে কত সময় গেছে। আর dt হচ্ছে, যে মাপছে তার সময় কতদূর গেছে। আশা করি এতদূর ক্লিয়ার।  

ds তাহলে কি জিনিস? আগেই বলেছিলাম, ds এর নাম হচ্ছে সত্যিকারের দূরত্ব। সূত্রে আসি:

ds^2

= -dTau^2

=  -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

তো যাই হোক, বক্কর ভাইয়ের জন্য একই ds হবে

ds^2 = -dt’^2 + dx’^2 + dy’^2 + dz’^2

এইবার একটা মজার জিনিস খেয়াল করো। আগের মতো যদি আমরা বের করার চেষ্টা করি বক্কর ভাইয়ের ds, যার dx’, dy’, dz’ সবই ০, আমরা পাই:

ds^2 = -dt’^2

যদিও বক্কর ভাই নিজের সাপেক্ষে নিজে চুপ করেই আছেন, তার ds কিন্তু অনবরত একটা বাড়ছে, আর সেটা যেহেতু নেগেটিভ জিনিসের বর্গমূল, সেটা হবে কাল্পনিক। এভাবে ds বোঝা যাবে না।

খেয়াল করো, ds এর আরেকটা অর্থ হতে পারে। আমার রেফারেন্স ফ্রেমে আমার সাপেক্ষে বক্কর ভাইয়ের দূরত্ব যখন √dx^2 + dy^2 + dz^2, তখন বক্কর ভাইয়ের সাপেক্ষে আমার দূরত্ব হবে    √(dx’^2 + dy’^2 + dz’^2). বক্কর ভাই অনেক বেশি বেগে চললে তার সাপেক্ষে আসলে রাস্তা ছোট হয়ে যাবে, মনে আছে তো সবার? এই যে বক্কর ভাই তাঁর রেফারেন্স ফ্রেমে dTau = dt’ সময়ে চলে  √(dx’^2 + dy’^2 + dz’^2) দূরত্ব পার হলেন, সেটা যদি তিনি কোন রকম সময় না খরচ করে, অর্থাৎ dt’ = 0 তে মাপতে পারতেন তাহলে হতো

বক্কর ভাইয়ের জন্য,

ds^2 = dx’^2 + dy’^2 + dz’^2

আমার জন্য 

ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

এক কথায়, ds হচ্ছে বক্কর ভাই নিজে কতটুকু রাস্তা পার হয়েছেন বলে মাপবেন।

২.

ধরি বক্কর ভাই আলোর বেগে যাচ্ছেন। আমি দেখবো বক্কর ভাই ১ সেকেন্ডে তিন লক্ষ কিলোমিটার যাচ্ছেন। বক্কর ভাই দেখবেন তিনি ০ মিনিটে ০ কিলোমিটার যাচ্ছেন। আমাদের হিসাবে কিলোমিটার না, আলোকসেকেন্ড একক ব্যবহার হবে, যেহেতু আমরা আলোর বেগকে এক একক ধরেছি। dy, dz 0 ধরে নেই।

প্রথমে dTau হিসাব করি।

আমার ফ্রেমে,

dTau^2 = dt^2 – dx^2 = 1^2 – 1^2 = 0

বক্কর ভাইয়ের নিজের ফ্রেমে

dTau^2 = dt’^2 = 0

এবার dS

আমার ফ্রেমে,

ds^2 = dx^2 – dt^2 = 1^2 – 1^2 = 0

বক্কর ভাইয়ের নিজের ফ্রেমে

ds^2 = dx’^2 = 0

আশা করি ক্লিয়ার? জটিল উদাহরণ ভাবতে ইচ্ছা করছে না, নিজে করো। একটা কথাঃ

ds আর dTau না বুঝলে আগামী পর্বগুলো আর কিছুইই বুঝবা না।