কোয়ান্টাম ৪৯: একটা ψকোলজিক্যাল থ্রিলার

কোয়ান্টাম ৪৯ 

একটা ψকোলজিক্যাল থ্রিলার 

আগের পর্বে আমরা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের খুব কাছাকাছি পৌঁছে গিয়েছিলাম। আজকে কেন জানি বেশি লিখতে ইচ্ছা করছে না। রগরগে সমীকরণগুলো ফেসবুক স্ট্যাটাসের চেয়ে বইয়েই বেশি মানায়। 

একটা কণার মোট শক্তি = গতিশক্তি + বিভবশক্তি 

E = T + V 

Eψ = Tψ + Vψ

গতিশক্তি T = 1/2 mv^2 = p^2/2m

তাই আমরা পাই, 

Eψ = (p^2/2m)ψ + Vψ

কোয়ান্টাম ৪৮ থেকে আমরা পাই, 

d^2Ψ/dx^2 = -p^2/ℏ^2 Ψ

বা, p^2/2m = -ℏ^2/2m * d^2Ψ/dx^2

তাহলে, 

Eψ = -ℏ^2/2m * d^2Ψ/dx^2 + Vψ

এইটা বিখ্যাত Time Independent Schrodinger Equation. কোন একটা কণার শক্তি জানা থাকলে এইটা ওই কণার ψ বের করে দিবে। এইটা সময়ের উপর নির্ভরশীল না। যেসব কণা গভীর গর্তে পরে কান্নাকাটি করছে, যাদের ভবিষ্যৎ বলে কিছু নেই তাদের জন্য এই সমীকরণ ইউজ করা হয়। তাদের ψ বাড়বেও না কমবেও না, সাড়া জীবন একই রকম থাকবে। 

চলমান মুক্ত কণাদের ψ চেঞ্জ হয়। অনেক জায়গা জুড়ে ছড়িয়ে পরে। তাদের ক্ষেত্রে এই সমীকরণ জাস্ট একটা মুহূর্তের ψ বুঝায়। তাদের ψ সময়ের সাথে কিভাবে চেঞ্জ হয় সেটা বুঝতে হলে আমাদের জানতে হবে Time Dependent Schrodinger Equation. 

Time Dependent Schrodinger Equation দেখার আগে আগের সমীকরণটাকে একটু সাজগোজ করি। এমনিতেই ফেসবুকে লিখছি, তার উপর একগাদা সিম্বল, দেখতে বাজে লাগছে। 

Eψ = -ℏ^2/2m * d^2Ψ/dx^2 + Vψ

বা, d^2Ψ/dx^2 + 2m/ℏ^2 (E – V) ψ = 0

2m/ℏ^2 হচ্ছে ধ্রুবক। নাম দিলাম হিজিবিজি। 

সমীকরণ হবে 

d^2Ψ/dx^2 + হিজিবিজি *  (E – V) ψ = 0

গুড। অনেকটা সুন্দর হয়েছে। ছোট একটা ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ (মানে কি?? খায় না মাথায় দেয়?!!!) 

ওকে, আরেক্টু সাইজ করি। মনে করি, E – V আগে থেকেই জানি। হিজিবিজি *  (E – V) = হাবিজাবি 

তাহলে, 

d^2Ψ/dx^2 + হাবিজাবি * ψ = 0 

বাংলা নাম কেন জানি ঠিক মানায় না 🙁 হাবিজাবির সংক্ষেপে নাম দিলাম H. 

তাহলে, 

d^2Ψ/dx^2 + Hψ = 0

অর্থাৎ, d^2Ψ/dx^2 =  -Hψ

গুড। একদম ছোট হয়ে গেছে। ছোট হলেও এইটা কিন্তু, যাকে বলে কিনা ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশান। দেখতে ভয় লাগতেই পারে। 

একটু পরে আমরা এই জিনিস সল্ভ করবো। তার আগে বিজ্ঞাপন বিরতিঃ যারা টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস সিরিজ পড়ো নি এখনি পড়ে আসো। 

পড়া শেষ? d^2Ψ/dx^2 ক্লিয়ার? এটা হচ্ছে Ψ কে x এর সাপেক্ষে ডাবল ডিফারেন্সিয়েশান করা। 

তাহলে সমীকরণটা কি মিন করে? 

এটা মিন করে, এমন একটা সমীকরণ Ψ বের করো, যাকে x এর সাপেক্ষে দুইবার ডিফারেন্সিয়েশান করলে যা পাওয়া যায় সেইটা আসল Ψ এর -H গুন। 

এই ধরণের সমীকরণ খুবই কম আছে। সেটা হয় e^Hx টাইপ হবে অথবা সাইন কস মিলিয়ে কিছু একটা হবে। 

চল ট্রাই করি। 

প্রথমে, ধরি, 

Ψ = e^Hx 

বা, dΨ/dx = He^Hx

বা, d^2Ψ/dx^2 = H^2 e^Hx = H^2 Ψ

হলো না। ডানে আশার কথা ছিল  -H Ψ, এসে গেছে H^2 Ψ. 

বুঝা যাচ্ছে দুইবার H গুন হয়ে ঝামেলা হয়ে গেছে। দুইবার গুন হয়ে হতে হবে -H. তারমানে, e এর পাওয়ার হবে i√H. 

বসিয়ে দেখিঃ 

Ψ = e^i√H x 

বা, dΨ/dx = i√H e^i√H x

বা, d^2Ψ/dx^2 = (i√H * i√H) e^i√H x

বা, d^2Ψ/dx^2 = -H e^i√H x = -HΨ

গ্রেট। সমীকরণটার একটা সমাধান আমরা পেয়ে গেছি। 

Ψ = e^i√H x 

আর কোন সমাধান কি হতে পারে? দেখি তো একটু 

সাইন ফাংশনটা খুব সুন্দর। sin x ডিফারেন্সিয়েশান করলে cos x হয়, সেটাকে ডিফারেন্সিয়েশান করলে -sin x হয়। sin √H x বসায় দেখি। i দরকার নাই, এমনিতেই মাইনাস আসবে। 

Ψ = sin √H x

বা, dΨ/dx = √H cos √H x

বা, d^2Ψ/dx^2= -H sin √H x = -HΨ

গ্রেট। আরেকটা পাওয়া গেছে 

Ψ = sin √H x

যারা এই ভয়াবহ রগরগে পর্ব পড়েছ, পড়ে আসলেই আনন্দ পেয়েছ, তাদের জন্য কুইজঃ 

আরও অনেক সমাধান আছে। 

আরও দুই উপায়ে সমাধান করে নিচে কমেন্ট করো। 

হাজার হোক, শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান, তাও আবার ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশান ইউজ করে, করার মধ্যে একটা ভাব আছে না!

Nayeem Hossain Faruque

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Next Post

ডি আই ডি: টুকরো টুকরো আত্মার গল্প

Thu Oct 10 , 2019
Post Views: 1,028 Facebook0Tweet0Pin0 ডি আই ডি: টুকরো টুকরো আত্মার গল্প “প্রথমে তোমার আত্মাটাকে টুকরা করতে হবে, তারপর ওই টুকরাটাকে লুকাতে হবে শরীরের বাইরে, কোন একটা জিনিসের ভিতর। এরপর যদি তুমি মারাও যাও, আত্মার ওই টুকরাটা বেঁচে থাকবে … ” প্রফেসর স্লাগহর্ন, হ্যারি পটার ১। প্যাট্রিসিয়ার বয়স ৫০ এর কাছাকাছি। […]

Subscribe