কোয়ান্টাম ৪৭: y = A sin ωt

কোয়ান্টাম ৪৭ 

y = A sin ωt

১। 

আমার ধারনা ছিল এইটা নাইন টেনে পড়ায়, ভুল করেছিলাম। অনেক দেরীতে টের পেয়েছি এগুলো আসলে ইন্টারের আগে আসে না। 

তাই যে জিনিস সাতে থাকার কথা ছিল সেটা চলে এসেছে সাতচল্লিশে। 

যাই হোক, আমরা আজকে সাইন কার্ভ নিয়ে খেলব। 

একটা প্লেইন, সিম্পল তরঙ্গকে একটা সাইন কার্ভ দিয়ে প্রকাশ করা যায়, আরও জটিল হলে কয়েকটা সাইন কার্ভের যোগফল হলেই চলে। 

কিভাবে প্রকাশ করা যায়? 

পুকুরে ঢিল পড়েছে, ঢেউ উঠছে আর নামছে। কোন একটা জায়গায়, ধরলাম মাঝ বিন্দুতে যেখানে  X = 0, সেখানে আমাদের ঢেউ বাবাজি উঠছেন আর নামছেন। 

প্রথমে ভাবি ছোটখাটো একটা ঢেউ। 

সময় যখন শূন্য তখন ঢেউয়ের উচ্চতা হচ্ছে ০, একটু পর হয়তো .5 হলো, তারপর 0.7, একসময় হয়তো 1। আবার সে নামতে নামতে শুন্য হবে। একসময় উল্টোদিকে নেমে 1 হবে, আবার ব্যাক করবে শূন্যে। 

আমরা বিভিন্ন সময়ে আমাদের ঢেউয়ের উচ্চতা মাপলাম। 

t = 0 হলে উচ্চতা 0 

t = 30 হলে উচ্চতা 1/2 

t = 45 হলে উচ্চতা 1/√2

t = 60 হলে উচ্চতা √3/2 

t = 90 হলে উচ্চতা 1 

মানগুলো চেনা চেনা লাগছে? এগুলো হচ্ছে সাইন থিটার মান। 

sin 30 হচ্ছে 1/2, sin 45 হচ্ছে 1/√2 এরকম। 

আমরা লিখতে পারি, তরঙ্গের উচ্চতা y হলে 

y = sin t 

এইবার একটা বড় ঢেউ নেই। ঐটাও দেখব সাইনের সূত্র মানে। খালি একটু বেশি নড়ে। সাইন যখন বলে 1/2, তার উচ্চতা হয় 5/2. সাইন যখন বলে √3/2, তার উচ্চতা হয় 5* 

√3/2.  সাইন যা বলে, তরঙ্গ বাড়ে তার পাঁচ গুন। হুজুগে বাঙ্গালির মতো। 

এই বড় ঢেউটার সমীকরণ কি হবে বলেন তো? 

রাইট, y = 5 sin t 

তাহলে, যে কোন সাইজের তরঙ্গের সমীকরণ কি হবে? 

y = A sin t 

A হচ্ছে বিস্তার। সাইন যখন বলে 1, উচ্চতা তখন হয় A. বিস্তারের সমান। 

ভালো কথা। আমরা দেখলাম একেক ঢেউ একেক রকম লাফায়। আবার হতে পারে না, একেক ঢেউ একেক স্পিডে লাগায়। 

কিছু ঢেউ শামুক টাইপের। সাইন আজকে লাফাতে বললে সে কালকে লাফায়। কালকে লাফাতে বললে চারদিন পর লাফায়। 

t সময়ে যতটুকু উঠার কথা, সেটুকু উঠতে সময় নেয় 2t. 

এই তরঙ্গের সমীরণ হবে 

y = A sin t/2 

ক্লিয়ার? 

যেই ঢেউ বেশি লাফায় তার সমীকরণ কি হবে? সময়ের আগেই লাফ দিয়ে ওঠে? 

হতে পারে না, 

y = A sin 2t 

তাহলে, স্লো আর অস্থির, উঁচু আর নিচু সব ধরণের তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ কি হবে? 

y = A sin ωt 

ক্লিয়ার??  

এখানে ω হচ্ছে কৌণিক বেগ। এটা যত বেশি হবে, ততো স্পিডে কোন বাড়বে, কোনের সাইনও বাড়বে, তাই এটা কৌণিক বেগ। 

কৌণিক বেগ ω 

= সময়ের সাথে কোনের পরিবর্তন 

৩৬০ ডিগ্রি অর্থাৎ 2π কোনের পরিবর্তনে যদি সময় লাগে T, তাহলে, 

ω = 2π/T 

আবার, কম্পাঙ্ক f হলে, পর্যায়কাল T = 1/f 

অর্থাৎ, 

ω = 2πf 

যে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক যত বেশি, তার কৌণিক বেগও ততো বেশি। 

তাহলে আমরা পাচ্ছি, 

y = A sin 2πft

অল ক্লিয়ার?? 

থাক, আপাতত y = A sin ωt ই ভালো, আর পেঁচানোর দরকার নাই। 

২। 

নাহ। 

আরেক্টু পেঁচাই। 

শুরুতে ধরেছিলাম সময় যখন t তখন আমাদের ঢেউ চুপচাপ শুয়ে ছিল। তার উচ্চতা ছিল 0. 

সেটা কেন হতে হবে? আমি যখন মাপতে শুরু করলাম, হতে পারে না ঢেউ বাবাজি অলরেডি নাচানাচি করছেন? 

হতে তো পারেই শুরুতে তার কোন ছিল 30 ডিগ্রি, একটু পরে হলো  ωt + 30

সেক্ষেত্রে তার উচ্চতা হবে 

y = A sin (ωt + 30) 

শুরুর এই কোনটাকে বলে আদি দশা। এটাকে θ নাম দিলে পাই, 

y = A sin (ωt + θ) 

ক্লিয়ার? 

৩। 

এতক্ষণ সময় নিয়ে পেঁচিয়েছি, এইবার আসি দূরত্বের কথায়। 

ঢেউ বাবাজি সময়ের সাথে যেমন সাইন তরঙ্গ দেয়, দূরত্বের সাথেও দেয়। 

সময় ফ্রিজ করে দিলাম। t = 0 সময়ে ঢেউয়ের একটা ছবি তুললাম। 

ক্লিক। 

এইবার এই তরঙ্গের নানান জায়গায় উচ্চতা মাপলাম। 

x = 0 তে সেটা হবে 0. 

x অক্ষ বরাবর আমরা যত ডানে যাবো, ততো একটা সুন্দর সাইন তরঙ্গ পাবো, যার উচ্চতা t = 0 সময়ে 

y = A sin (-kx) 

ঠিক সময়ের ক্ষেত্রে যেমন দেখালাম y = A sin ωt, একই ভাবে দূরত্বের ক্ষেত্রেও আসে y = A sin (-kx). 

যে তরঙ্গ X অক্ষ বরাবর ধনাত্মক দিকে যায় তার jonno -kx, উলটা দিকে গেলে kx 

কেন? 

খাতায় এঁকে এঁকে ভাবতে হবে। 

৪। 

তাই যদি হয়, তাহলে পুরাটা এক করলে কি হবে? 

অর্থাৎ, t সময়ে, x দূরত্বে কোন ঢেউয়ের উচ্চতা? 

সেটা হবে 

y = A sin (ωt – kx) 

আদি কোন θ হলে হবে, 

y = A sin (ωt – kx + θ)

শেষ পর্যন্ত সবই সাইন তরঙ্গ। মাঝে কিছু যোগ বিয়োগ গুন ভাগ। এগুলো বুঝতে চাইলে খাতায় লিখে লিখে আঁকতে হবে। ছবির জিফ ফাইলটাও সাহায্য করবে। 

এবার প্রশ্নঃ 

তরঙ্গ কেন সাইনের সূত্র মানে? 

কেন অন্য কিছু না? 

হতে পারতো না, তরঙ্গ ত্রিভুজের মতো উঠে, আবার নামে? 

হতে পারতো না, উপরে অর্ধ বৃত্ত, নিচে উলটা অর্ধ বৃত্ত? 

সাইন কেন?

Nayeem Hossain Faruque

One thought on “কোয়ান্টাম ৪৭: y = A sin ωt

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Next Post

কোয়ান্টাম ৪৮: স্রোডিঙ্গারের সমীকরণঃ y থেকে Ψ

Sun Sep 29 , 2019
Post Views: 1,188 Facebook0Tweet0Pin0 কোয়ান্টাম ৪৮ স্রোডিঙ্গারের সমীকরণঃ y থেকে Ψ আজকের পর্বটা রিগোরাস, গণিত আছে। যারা আসলেই শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ বুঝতে চান তারা বাদে অন্য সবাই পর্বটা ইগ্নোর করুন। এই পর্বের বেশিরভাগ কথাই আগে বলে ফেলেছি, তাও একটু রিক্যাপ দিতে হবে। শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের আমরা আসতে আসতে কাছাকাছি আসছি, জিনিসগুলো জটিল […]

Subscribe