জেনারেল রিলেটিভিটি ৪ 

মেট্রিক টেনসর 

পর্বটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, এবং জটিল। ভালো করে বুঝতে হবে। 

আগেরগুলোর লিঙ্কঃ 

https://nayeem.science/category/physics/relativity/general-relativity/

১। 

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল তার বাকি দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান। 

এই কথাটা বলে গেছেন মহান গণিতবিদ পিথাগোরাস। খ্রিষ্টের জন্মের ৫০০ বছর আগে। 

এই পিথাগোরাসের সূত্রের উপর ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা। 

একটা 2D গ্রাফ পেপারে, একটা বিন্দু যদি A(0, 0) হয়, আরেকটা যদি  B(3, 5) হয়, 

dx = x1 – x0 = 3 – 0 = 3

dy = y1 – y0 = 5 – 0 = 5

তাহলে, ওই দুই বিন্দুর দূরত্ব ds হলে, 

ds^2 = dx^2 + dy^2 

ds^2 = 3^2 + 5^2 

= 34

বর্গমূল করে পাই, ds = 5.8

প্রতি ঘর যদি হয় 1 মিটার লম্বা, ds হচ্ছে 6 মিটার, dx 3 মিটার, dy 5 মিটার। 

ds হচ্ছে A থেকে B তে আঁকা সরলরেখার দৈর্ঘ্য। A থেকে B তে হাজারটা পথে যাওয়া যায়। বক্রপথে, গোল পথে, চাঁদের দেশ ঘুরে, আরও অনেক অনেক পথে। 

এই সব পথের মধ্যে সবচেয়ে ছোট দূরত্ব হবে সরাসরি দূরত্ব AB = ds. 

ক্লিয়ার? 

২। 

এইবার ধরি, ds এর মাঝখানে একটা পাহাড় বসানো হলো। 

এই পাহাড়ের জন্য ds এর দৈর্ঘ্য বেড়ে 6 মিটার থেকে হলো 16.15 মিটার। dx আগের মতোই 3 মিটার আছে। dy আছে 5 মিটার। 

খেয়াল করেনঃ ds হচ্ছে A আর B এর মাঝখানের রাস্তাটুকুর দূরত্ব। এই রাস্তায় পাহাড় থাকলে রাস্তা লম্বা হবে। 

dx হচ্ছে সরাসরি x অক্ষ বরাবর দূরত্ব। সরাসরি দূরত্ব। X অক্ষের উপর পাহাড় থাকলেও এই দূরত্ব চেঞ্জ হবে না। 

একই কথা dy এর ক্ষেত্রেও খাটবে। 

A আর B দুইটা বিন্দুর মাঝখানে একটা উঁচু পাহাড় থাকায় এর দৈর্ঘ্য বেড়ে গেছে। কিন্তু dx, dy কে আগের মতোই ধরেছি। সেই কারণে, আগের সূত্র এখন আর কাজ করবে না। 

ds^2 হচ্ছে এখন 16.15^2 = 261  

dx^2 + dy^2 মাত্র 34

আমরা ds মাপবো কিভাবে? 

আমাদের এই নতুন ds মাপতে হলে, খেয়াল করতে হবে, আমরা যখন dx বরাবর হাটি, ds কি পরিমাণ বাড়ে। 

ঠিক তেমনি, dy বরাবর হাঁটলে ds কি পরিমাণ বাড়ে। 

dx ছিল 3 মিটার। 

ধরি, dx বরাবর প্রতি মিটার হাঁটলে ds বাড়ে 2 মিটার করে। 

তাহলে 

ds পেতে হলে আমাদের dx কে 2 দিয়ে গুন দিতে হবে। 

ds^2 পেতে হলে dx^2 কে গুন দিতে হবে 2^2 = 4 দিয়ে। 

একিভাবে, ধরি, 

dy বরাবর প্রতি মিটার হাঁটলে ds বাড়ে 3 মিটার করে। 

তাহলে 

ds পেতে হলে আমাদের dy কে 2 দিয়ে গুন দিতে হবে। 

ds^2 পেতে হলে dy^2 কে গুন দিতে হবে 3^2 = 9 দিয়ে। 

তাহলে, 

ds^2 = 4 * dx^2 + 9 * dy^2 

= 4 * 9 + 9 * 25 

= 261 

এইযে 4 আর 9, যাদেরকে যথাক্রমে dx^2 আর dy^2 এর সাথে গুন দেওয়া হলো, এদেরকে একসাথে বলে মেট্রিক  টেন্সর। 

dx^2 এর সাথে টেনসরের যেই কম্পোনেন্টকে গুন দেওয়া হয়, অর্থাৎ এক্ষেত্রে 4, তাকে প্রকাশ করে gxx দিয়ে। 

gxx = 4. 

dy^2 এর সাথে টেনসরের যেই কম্পোনেন্টকে গুন দেওয়া হয়, অর্থাৎ এক্ষেত্রে 9, তাকে প্রকাশ করে gyy দিয়ে। 

gyy = 9. 

xx কারণ এখানে x^2 এ দুইটা x আছে। 

ক্লিয়ার??? 

৩। 

তাহলে, 

2D ফ্ল্যাট স্থানাকে পিথাগোরাসের সূত্র হচ্ছে 

ds^2 = dx^2 + dy^2 

কিন্তু আঁকাবাঁকা পাহাড়ি স্থানাঙ্কে এই সূত্র হবেঃ 

ds^2 = gxx * dx^2 + gyy * dy^2 

সোজা কথা বলতে গেলে, 

পাহাড় পর্বত না থাকলে 

gxx = gyy = 1 

মেট্রিক টেন্সর একেক জায়গায় একেক রকম হতে পারে। পাহাড় পর্বত থাকলে মান বড় হয়, এমনিতে ছোট থাকে। 

পরিষ্কার??? 

একদিন আমরা দেখব, gxy টার্মও সম্ভব, আজকে থাক। 

৪। 

3D জগতে, ফ্ল্যাট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পিথাগোরাসের সূত্র হচ্ছে 

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 

2D জগত যেমন 3D এর মধ্যে বেঁকে পাহাড় পর্বত তৈরি করে, 3D জগত তেমনি 4D এর মধ্যে বেঁকে আছে। এই জিনিস চিন্তা করা আরও কঠিন। 

এই ক্ষেত্রে আমাদের সমীকরণ হবে 

ds^2 = gxx * dx^2 + gyy * dy^2 + gzz * dz^2 

৫। 

আলবার্ট আইনস্টাইনের চমৎকার থিওরির সুবাদে, জগত আমাদের 3D না, 4D. এমনিতেই ভাবা যায় না, তার উপর বাঁকানো। 

আলোর বেগকে ১ একক ধরলে, ফ্ল্যাট 4D সিস্টেমে, দুইটা বিন্দুর দূরত্ব 

ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 

সময়ের আগে খেয়াল করেছেন? হুম, আসলেই একটা মাইনাস আছে। 

এটা অতি বিখ্যাত সূত্র। 

এই সূত্র স্পেসের সাথে টাইমকে যুক্ত করে। 

এই সূত্র আইনস্টাইন কোথায় পেলেন, আমরা সামনে দেখব। 

এটুকু বুঝে রাখি, 

dx, dy, dz হচ্ছে বাইরের পর্যবেক্ষক সাপেক্ষে দুইটা বিন্দুর x, y আর z স্থানাকের দূরত্ব। 

dt হচ্ছে বাইরের পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে দুইটা ঘটনার মাঝখানের সময়। 

ds হচ্ছে, যে সত্যিকারে হেঁটে যাবে পাহাড় পর্বত পার করে, তার জন্য  দূরত্ব। 

তাহলে, dx যদি অল্প হয়, কিন্তু ds যদি বিশাল হয়, তাহলে আমি যদি দেখি আপনি অল্প দূরত্ব হাঁটছেন, আপনি আসলে পাড়ি দিচ্ছেন সুদীর্ঘ পথ। 

৬। 

আমরা যে কেবল 4D স্পেসটাইমে বাস সেটা সমতল নয়। বেঁকে আছে। 

ভর স্পেস টাইমকে বাঁকায়। 

স্পেস টাইম বাকলে মেট্রিক টেনসরগুলো আর ১ থাকে না। 

gtt, gxx, gyy, gzz এদের তখন নানান ধরণের মান হতে পারে। 

কেউ কি বলতে পারবেন, ব্ল্যাক হোলের ঘটনাদিগন্তে gxx এর মান কতো?

ক্লু: অসীম উঁচু পাহাড়ে gxx কতো হওয়া উচিত?