টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ৬
ইন্টিগ্রেশান ২
আগের পর্ব থেকে মনে আছে তো, ইন্টিগ্রেশান হচ্ছে একটা রেখার নিচের জায়গাটুকুর ক্ষেত্রফল?
আজকে দুইটা ইন্টিগ্রেশান হাতে করবো।
একটু রিক্যাপ
∫ হচ্ছে ইন্টিগ্রেশানের চিহ্ন।
ydx মানে y আর dx এর গুণফল।
∫ydx মানে অনেকগুলো dx নিবো, প্রতিটা dx এর জন্য ydx বের করে যোগ করবো। কতক্ষণ যোগ করবো?
সেটা ∫ চিহ্নের উপরে আর নিচে লেখা সংখ্যা দিয়ে বুঝা যায়।
এখানে লেখাটা কঠিন, তাও চেষ্টা করি,
∫0 ^5 ydx মানে নিচে 0, উপরে 5. x = 0 theke 5 পর্যন্ত ydx কে যোগ করা।
ydx হচ্ছে ছোট একটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, যার উচ্চতা y, দৈর্ঘ্য dx. তাহলে, ∫ydx মানে হচ্ছে অনেকগুলো ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রের যোগফল।
y রেখাটার নিচের জায়গাটুকুকে অনেকগুলো ছোট আয়তক্ষেত্রে ভাগ করতে হবে। তারপর ক্ষেত্রফলগুলো যোগ করতে হবে।
যদি y = x হয়, ওই রেখার নিচের জায়গাটুকু অনেকগুলো ছোট ভাগে ভাগ করবো। তারপর যোগ করবো।
যদি y = x^2 হয়, ওই রেখার নিচের জায়গাটুকু অনেকগুলো ছোট ভাগে ভাগ করবো। তারপর যোগ করবো।
আসলে y যাই হোক না কেন, এই কাজ করতে হবে। ক্লিয়ার?
আজকের উদাহরণগুলোতে লিমিট বলব না, সব জায়গায় ধরে নিবো 0 থেকে 5 এর মধ্যে যোগ করছি।
১।
∫3dx
মানে হচ্ছে y = 3 রেখার নিচের জাতগাটুকুর ক্ষেত্রফল।
y = 3 কি জিনিস? এমন একটা রেখা যেটার উচ্চতা ৩, রাইট? নিচের ছবিটার মতো।
এর নিচের জায়গাটুকু একটা আয়তখেত্র।
এই রেখার নিচের জায়গাটুকর ক্ষেত্রফল কতো হবে, x = 0 থেকে 5 পর্যন্ত?
কে বলতে পারবে?
5 × 3 = 15 একক। একবারে সহজ।
x = 0 থেকে 9 নিলে?
9 × 3. 27 একক।
0 থেকে x পর্যন্ত?
3x.
ক্লিয়ার?
∫3dx = 3x
এইটা এতো সহজ যে জায়গাটুকুকে ছোট ছোট ঘরে ভাগ না করেও চোখ বন্ধ করে উত্তর দেওয়া যায়। আয়তের দৈর্ঘ্য x, উচ্চতা 3, ক্ষেত্রফল হবে 3x.
উচ্চতা c হলে?
∫cdx = cx
ক্লিয়ার?
1 হলে?
∫dx = x
তাহলে, আমরা বলতে পারি,
∫cdx = c∫dx = cdx
c কে বাইরে গুন আকারে নিয়ে আসা যায়।
ইচ্ছা করলে ছোট ছোট dx এ ভাগ করা যেত, কিন্তু এতো সহজ উদাহরণে সেটা না করলেও চলে। তারপরও ছবিতে সেটা ভাগ করে দেখালাম।
২।
∫xdx মানে হচ্ছে y = x রেখার নিচের জায়গাটুকুর। ক্ষেত্রফল।
y = x একটা সরলরেখা।
x = 0 হলে এখানে y = 0
x = 1 হলে y = 1
x = 5 হলে y = 5
নিচের জায়গাটুকু কি হবে তাহলে? একটা ত্রিভুজ, রাইট?
ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
∫xdx এর মান x = 0 থেকে 5 হলে
ভূমি = 5 – 0
উচ্চতা = 5, কারন x = 5 হলে y = 5.
সমকোণী ত্রিভুজ।
তাহলে, ক্ষেত্রফল = 1/2 × 5 × 5 একক।
= 25/2 একক।
যেকোনো x ধরলে হয়,
∫xdx = 1/2 x^2
ক্লিয়ার?
y = 3x হলে ক্ষেত্রফল কি হবে?
তখন ভূমি হবে x
উচ্চতা 3x
তাহলে ক্ষেত্রফল = 1/2 × 3x^2
y = cx হলে?
∫cxdx = 1/2 cx^2
ক্লিয়ার??
মিনি কুইজঃ
আমাদের দুইটা উদাহরণেই লিমিট নিয়েছি 0 থেকে 5. লিমিট যদি 5 থেকে 7 হয়, তাহলে
∫3dx কতো হবে এবং কেন?
∫3xdx কতো হবে এবং কেন?
লুৎফুল আহমেদ নাদিম
ধন্যবাদ আপনাকে। অনেক উপকার হলো।