টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ৬



টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ৬

ইন্টিগ্রেশান ২ 

আগের পর্ব থেকে মনে আছে তো, ইন্টিগ্রেশান হচ্ছে একটা রেখার নিচের জায়গাটুকুর ক্ষেত্রফল?  

আজকে দুইটা ইন্টিগ্রেশান হাতে করবো। 

একটু রিক্যাপ 

∫ হচ্ছে ইন্টিগ্রেশানের চিহ্ন। 

ydx মানে y আর dx এর গুণফল। 

∫ydx মানে অনেকগুলো dx নিবো, প্রতিটা dx এর জন্য ydx বের করে যোগ করবো। কতক্ষণ যোগ করবো? 

সেটা ∫ চিহ্নের উপরে আর নিচে লেখা সংখ্যা দিয়ে বুঝা যায়। 

এখানে লেখাটা কঠিন, তাও চেষ্টা করি, 

∫0 ^5 ydx মানে নিচে 0, উপরে 5. x = 0 theke 5 পর্যন্ত ydx কে যোগ করা। 

ydx হচ্ছে ছোট একটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, যার উচ্চতা y, দৈর্ঘ্য dx. তাহলে, ∫ydx মানে হচ্ছে অনেকগুলো ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রের যোগফল। 

y রেখাটার নিচের জায়গাটুকুকে অনেকগুলো ছোট আয়তক্ষেত্রে ভাগ করতে হবে। তারপর ক্ষেত্রফলগুলো যোগ করতে হবে। 

যদি y = x হয়, ওই রেখার নিচের জায়গাটুকু অনেকগুলো ছোট ভাগে ভাগ করবো। তারপর যোগ করবো। 

যদি y = x^2  হয়, ওই রেখার নিচের জায়গাটুকু অনেকগুলো ছোট ভাগে ভাগ করবো। তারপর যোগ করবো। 

আসলে y যাই হোক না কেন, এই কাজ করতে হবে। ক্লিয়ার? 

আজকের উদাহরণগুলোতে লিমিট বলব না, সব জায়গায় ধরে নিবো 0 থেকে 5 এর মধ্যে যোগ করছি। 

১। 

∫3dx 

মানে হচ্ছে y = 3 রেখার নিচের জাতগাটুকুর ক্ষেত্রফল। 

y = 3 কি জিনিস? এমন একটা রেখা যেটার উচ্চতা ৩, রাইট? নিচের ছবিটার মতো। 

এর নিচের জায়গাটুকু একটা আয়তখেত্র। 

এই রেখার নিচের জায়গাটুকর ক্ষেত্রফল কতো হবে, x = 0 থেকে 5 পর্যন্ত? 

কে বলতে পারবে? 

5 × 3 = 15 একক। একবারে সহজ। 

x = 0 থেকে 9 নিলে? 

9 × 3. 27 একক। 

0 থেকে x পর্যন্ত? 

3x. 

ক্লিয়ার? 

∫3dx = 3x 

এইটা এতো সহজ যে জায়গাটুকুকে ছোট ছোট ঘরে ভাগ না করেও চোখ বন্ধ করে উত্তর দেওয়া যায়। আয়তের দৈর্ঘ্য x, উচ্চতা 3, ক্ষেত্রফল হবে 3x. 

উচ্চতা c হলে? 

∫cdx = cx

ক্লিয়ার? 

1 হলে? 

∫dx = x

তাহলে, আমরা বলতে পারি, 

∫cdx = c∫dx = cdx

c কে বাইরে গুন আকারে নিয়ে আসা যায়। 

ইচ্ছা করলে ছোট ছোট dx এ ভাগ করা যেত, কিন্তু এতো সহজ উদাহরণে সেটা না করলেও চলে। তারপরও ছবিতে সেটা ভাগ করে দেখালাম। 

২। 

∫xdx মানে হচ্ছে y = x রেখার নিচের জায়গাটুকুর। ক্ষেত্রফল। 

y = x একটা সরলরেখা। 

x = 0 হলে এখানে y = 0 

x = 1 হলে y = 1 

x = 5 হলে y = 5 

নিচের জায়গাটুকু কি হবে তাহলে? একটা ত্রিভুজ, রাইট? 

ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা 

∫xdx এর মান x = 0 থেকে 5 হলে 

ভূমি = 5 – 0 

উচ্চতা = 5, কারন x = 5 হলে y = 5. 

সমকোণী ত্রিভুজ। 

তাহলে, ক্ষেত্রফল = 1/2 × 5 × 5 একক। 

= 25/2 একক। 

যেকোনো x ধরলে হয়, 

∫xdx = 1/2 x^2 

ক্লিয়ার? 

y = 3x হলে ক্ষেত্রফল কি হবে? 

তখন ভূমি হবে x 

উচ্চতা 3x 

তাহলে ক্ষেত্রফল = 1/2 × 3x^2 

y = cx হলে? 

∫cxdx = 1/2 cx^2 

ক্লিয়ার?? 

মিনি কুইজঃ 

আমাদের দুইটা উদাহরণেই লিমিট নিয়েছি 0 থেকে 5. লিমিট যদি 5 থেকে 7 হয়, তাহলে 

∫3dx কতো হবে এবং কেন? 

∫3xdx কতো হবে এবং কেন?

One thought on “টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ৬”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *