টিনি মিনিদের ক্যালকুলাস ২ 

ডিফারেন্সিয়েশান ২ 

আগের পর্বে বলেছিলাম, ডিফারেন্সিয়েশান মানে সিমপ্লি ভাগ করা। 

কোন মুহূর্তে  কতটুকু দূরত্ব গেছে সেটাকে ওই দূরত্ব যেতে কতো সময় লেগেছে ভাগ দিলে পাই ওই মুহূর্তের বেগ। 

এইবার সূত্রে আসি। 

কেস ১ঃ 

বক্কর ভাইয়ের গাড়ি থেমে আছে। 

তেল শেষ। 

এই মুহূর্তে সে ঢাকা থেকে ৫ কিলো দূরত্বে ছিল। 

দশ সেকেন্ড পরেও ৫ কিলো দূরত্বে। 

dx = 5 – 5 = 0 

dt = 10 

ভাগ করে পাই, dx/dt = 0. 

এই ক্ষেত্রে x = c অর্থাৎ constant ছিল। ধ্রুবক থাকলে কি হবে? x এর কোন পরিবর্তন হবে না, dx = 0 হবে। আর, শুন্যকে ভাগ দিলে শুন্যই থাকে 🙂 

কেস ২ঃ 

বক্কর ভাইয়ের গাড়ি সমান বেগে চলছে। 

x = 5t 

দূরত্ব, সময়ের ৫ গুন। 

৫  তম সেকেন্ডে সে আছে ঢাকা থেকে ২৫ কিলো দূরে। 

৮  তম সেকেন্ডে সে আছে ৪০  কিলো দূরে। 

dx = ৪০ – ২৫ = ১৫ 

dt = ৮ – ৫  = ৩  

ভাগ দিয়ে পাই,  ১৫/৩ = ৫। 

একবারে সহজ। 

এইখানে, অন্য যেকোনো সময় নিলেও আমরা পাবো dx/dt = 5 

একটু ভাঙ্গি, 

dx/dt 

= d(5t)/dt 

= 5 dt/dt 

= 5 

ক্লিয়ার? dt আর dt কি তাহলে আসলেই কাটাকাটি গেলো? 

শিওর। 

কেস ৩ঃ 

বক্কর ভাইয়ের গাড়ি সমবেগে চলছে, কিন্তু শুরুতেই সে ঢাকা থেকে ১০ কিলো দূরত্বে ছিল। 

x = 5t + 10 

৫  তম সেকেন্ডে সে আছে ঢাকা থেকে ৩৫ কিলো দূরে। 

৮  তম সেকেন্ডে সে আছে ৫০  কিলো দূরে। 

dx = ৫০ – ৩৫ = ১৫ 

dt = ৮ – ৫  = ৩  

ভাগ দিয়ে পাই,  ১৫/৩ = ৫। 

মজা না? আগের মানটাই চলে এসেছে। 

আর আসবে না কেন। তার বেগ তো ৫। শুরুর দূরত্ব কি কাজে লাগবে বলেন! 

একটু ভাঙ্গি, একটা জিনিস বুঝানোর আছে। 

dx/dt 

= d(5t + 10)/dt 

= d5t/dt + d10/dt 

একটু আগে কি পেয়েছি? 

ধ্রুবকের ডিফারেন্স d10 = 0 

d5t/dt = 5 dt/dt = 5 

তাহলে, dx/dt 

= 5 

আগের মতোই। 

কেস ৪ঃ 

বক্কর ভাইয়ের গাড়ি সমান তরণে চলছে। 

আদিবেগ শূন্য, আদি দূরত্বও শূন্য। 

x = t^2 

এইবার হিসাব একটু সাবধানে করতে হবে। 

আগের অঙ্কগুলোতে আমরা ইচ্ছামত dx, dt ধরেছি। 

এইবার সেটা করা যাবে না। 

যে গাড়ি সমান তরণে চলছে তার বেগ প্রতি মুহূর্তে পরিবর্তন হচ্ছে। আমরা দেখি এইসব অঙ্ক কিভাবে করতে হয়। 

৫ তম সেকেন্ডে সে আছে  5^2 = 25 একক দূরে। 

৬  তম সেকেন্ডে সে আছে 6^2 = 36 একক দূরে। 

বিয়োগ করে পাই, dx = 36 – 25 = 11 

dt = 1 

dx/dt = 11

তাহলে কি পেলাম, ৫ তম সেকেন্ডে বেগ 11? 

এইবার যদি সময়ের ব্যবধান আরও কমাই? 0.5 করি? 

5.5 তম সেকেন্ডে দূরত্ব হলো 5.5 ^ 2 = 30.25 

dx = 30.25 – 25 = 5.25

dt = 0.5 

ভাগ দিয়ে পাই, dx/dt = 10.5 

আগের হিসাবের চেয়ে কম। 

কারন, বেগ পরিবর্তন হচ্ছে। এক সেকেন্ড ধরে বেগ মাপলে বেশি ভুল করেছি। 0.5 সেকেন্ড ধরে মাপলে ভুলটা কম হবে। 

সময় আরও কমাই। ব্যবধান 0.1 করি 

আগের মতো হিসাব করে পাই, 

dx = 1.01

dt = 0.1 

ভাগ দিয়ে পাই, dx/dt = 10.1 

আরও কমেছে। 

dt 0.01 নিলে হিসাব করে পাবো, dx/dt = 10.01

dt 0.001 নিলে হিসাব করে পাই, dx/dt = 10.001

dt 0.0001 নিলে হিসাব করে পাই, dx/dt = 10.0001

মজা না? 

সময়ের ব্যবধান যত শূন্যের কাছে যাচ্ছে, ভাগফল ততো 10 এর কাছে যাচ্ছে। প্যাটার্ন দেখে কিন্তু সহজেই বলে দেওয়া যায়, সত্যিকারের উত্তর হবে 10. 

কাহিনী হচ্ছে, কেন 10? 

একটু অঙ্ক করি। 

t সময়ে দূরত্ব x = t^2 

একটু পরে সময় হচ্ছে t + dt 

ওই সময়ে দূরত্ব হবে x + dx = (t + dt)^2 

= t^2 + 2tdt + (dt)2

x + dx থেকে x  বিয়োগ দিলে পাই

dx = t^2 + 2tdt + (dt)2 – t^2 

= 2tdt + (dt)^2

dt যখন শূন্যের খুব কাছাকাছি, তখন dt এর বর্গ (dt)^2 শূন্য হবে প্রায়। 

আমরা তাই লিখতে পারি, 

dx = 2tdt

এটাকে dt দিয়ে ভাগ দিলে পাই, 

dx/dt = 2tdt/dt = 2t 

(dt, dt কাটাকাটি যায়) 

আমাদের উদাহরণটায় t ছিল 5 সেকেন্ড। তখন বেগ হবে 5 * 2 = 10. 

হিসাব মিলছে? কোথা থেকে 10 আসে? 

সামারিঃ 

ডিফান্সিয়েশান হলো ভাগ। 

যত সময়ের ব্যবধান কম নিবো, ভাগফল ততো নিখুঁত হবে। এই জন্য নানান ধরেন সূত্র আছে। কয়েকটা দেখালাম কোথা থেকে আসে। 

আগামী পর্বে ইন্টিগ্রেশান.